MATLAB Symbolic Math, Polinomlar ve Diferansiyel Denklemler

MATLAB Ders Notları: Symbolic, Polinomlar ve Diferansiyel Denklemler

Denklem çözümü, türev, integral, sadeleştirme işlemlerini,
Polinomlarla çalışma (değer hesaplama, kök bulma, çarpma/bölme, türev/integral),
Doğrusal olmayan denklem takımlarının fsolve ile çözümünü,
ODE (Adi Diferansiyel Denklem) türlerini ve dsolve / ode23 gibi yöntemleri

1) Symbolic Temeller: Çözüm, Türev, İntegral

MATLAB'de sembolik değişken tanımlamak için syms kullanılır. Bu sayede polinom gibi ifadeler üzerinde analitik işlem yapabilirsiniz.

Örnek: $y = 4x^3 - 8x^2 + 5x + 17$ denklemini çözünüz

% örnek: y=4x^3 - 8x^2 + 5*x + 17 denklemini çözünüz.
 
clear all, close all, clc
%%
 
syms x y
y=4*x^3 - 8*x^2 + 5*x + 17;
 
solve(y)
diff(y)
int(y)
simplify(y)
 
%%

solve(y) ifadesi $y=0$ denkleminin köklerini çözer.
diff(y) türev alır.
int(y) belirsiz integral alır.
simplify(y) ifadeyi mümkünse sadeleştirir.

2) İki Değişkenli Fonksiyonlarda Kısmi Türev

İki değişkenli bir fonksiyon için diff(f,x) ve diff(f,y) ile kısmi türevler alınır.

% ÖRNEK: f = -1*(x^2+y)^2+exp(0.1*(x+y))
syms f(x,y)
f(x,y) = -1*(x^2+y)^2+exp(0.1*(x+y));
diff(f,x)
diff(f,y)
%%

3) Numerik İntegral ve Sembolik İntegral Karşılaştırması

Aynı fonksiyonun integrali hem numerik (yaklaşık) hem sembolik (tam) hesaplanabilir.

%Numerik İntegral
syms x y
fun = @(x) (4.*x.^3 - 8.*x.^2 + 5.*x + 17); % "." ile beraber matris çarpımı sağlıyoruz.
% Konmazsa matrislerde sadece birinci elemanı birinci ile çarpar bırakır
q = integral(fun,0,4) % 0 ile 4 arasında integralini aldık.   ans = 193.3333
y=4*x^3 - 8*x^2 + 5*x + 17;
w = int(y, 0, 4) % ans= 580/3
vpa(w) % ans = 193.33333333333333333333333333333

integral(fun,0,4) sayısal integraldir.
int(y,0,4) sembolik integraldir.
vpa sembolik sonucu istenen hassasiyette ondalığa çevirir.

4) Sadeleştirme ve Üslü İfade Açılımı

Sadeleştirme

%% Sadeleştirme
clear all, close all, clc
syms a b
f1 = (a^2-4*b^2)/(a-2*b);
simplify(f1) % a + 2*b sadeleştiriyor denklemi en basit haline
pretty(f1) % ans = Kesirli olarak gösteriyor. \frac gibi

pretty çıktıyı daha okunur biçimde gösterir (metin tabanlı).

Binom açılımı: $(a-b)^5$

%% (a-b)^5 oalrak verilen üslü ifadeyi açınız.
clear all, close all, clc
syms a b
f2 = (a-b)^5;
expand(f2) % ans = a^5 - 5*a^4*b + 10*a^3*b^2 - 10*a^2*b^3 + 5*a*b^4 - b^5
pretty(expand(f2)) %% Yine daha güzel yazıyor. 5*a değil 5a veya a^2 değil ^ koymadan üstüne gibi

5) Sembolik Toplam: Seri Hesabı

%% 4x5x6+5x6x7+...+98x99x100 serisinin toplamını hesaplayınız.
clear all, close all, clc
syms k
symsum(k*(k+1)*(k+2),4,98) % ans = 24497460 symsum(fonksiyon,ilk değer,son değer)

6) Polinomlar: Değer, Kök, Üretim ve Operasyonlar

MATLAB’de polinomlar çoğunlukla katsayı vektörüyle ifade edilir:

Değer hesaplama: polyval(p, x0)
Kök bulma: roots(p)
Köklerden polinom üretme: poly(r)
Çarpma: conv(p,q)
Bölme: [bolum, kalan] = deconv(p,q)
Türev: polyder(p)
İntegral: polyint(p)

Örnek: $x = s^4+3s^3-15s^2-2s+9$ için değer ve kökler

%% Polinomlar
% Değişkenin herhangi bir değeri için polinomun değeri bulunmak istenirse
% polyval(x,...) kullanılır.
 
% x polinomunun kökleri roots(x) ile hesaplanır.
 
% kökleri verilen bir polinomu üretmek için poly() kullanılmaktadır.
 
% iki polinom çarpımı için z = conv(x,y) ve bölmek için
% [bolum,kalan]=deconv(x,y) kullanılmaktadır.
 
% polinomların toplamı için t=x+y veya çıkartma için t=x-y
% kullanılmaktadır.
 
clear all, close all, clc
 
% Örnek: x = s^4+3s^3-15s^2-2s+9 polinomunun s=2 ikenki değerini, kökünü
% bulunuz.
syms x s
x=[1 3 -15 -2 9]; % Matlabde polinom yazarken bu şekilde bir vektörle ifade edebiliriz.
polyval(x,2) % -15
q=roots(x) %   -5.5745
         %   2.5836
         %   -0.7951
         %   0.7860
poly(q) % ans = 1.0000    3.0000  -15.0000   -2.0000    9.0000
 
% Bu polinomu fonksiyon olarak çözelim aynı soru için.
clc
f = s^4+3*s^3-15*s^2-2*s+9;
subs(f,s,2) % ans = -15, f fonksiyonunda s yerine 2 yaz ve sonucu ver.
 
clc
% Polinom çarpımı bölümü
x=[1 3 -15 -2 9];
y = [1 0 0 0 1];
 
z=conv(x,y) % [1     3   -15    -2    10     3   -15    -2     9] s^8 lik bir polinom vermiş.
[bolum,kalan]=deconv(x,y) % bolum 1, kalan = [0     3   -15    -2     8] s^4 lük bir polinom. s^4'ün katsayı yok yani s^3müş
f= polyder(x) % [4     9   -30    -2] polinomun fonksiyonun 1.türevini alıyor. Daha fazla almak için polyder(f) ile devams.
f=polyint(x) % [0.2000    0.7500   -5.0000   -1.0000    9.0000         0] polinom integral dışına böyle çıkıyor imiş.
 
% f(x,y) gibi iki değişkenli fonksiyonların integrali
% dblquad(fonksiyon,xmin,xmax,ymin,ymax) şeklinde hesaplanır.
 
% Bir polinomda x değişkeni 0'a yaklaşırken polinomun değeri şu şekilde
% hesaplanır: limit(f)
% Bir polinomda x değişkeni 3'e yaklaşırken polinomun değeri şu şekilde
% hesaplanır: limit(f,3)

7) Doğrusal Olmayan Denklem Takımları: `fsolve`

fsolve, bilinmeyenlerin bulunduğu bir denklem takımını sayısal olarak çözer. Burada kritik nokta: denklemler $F(x)=0$ formuna getirilmelidir ve genelde bir fonksiyon dosyasında (m-file) tanımlanır.

%% Doğrusal Olmayan Denklem Takımlarının Çözümü
% x = fsolve('fun',x0) komutu kullanılır. fun ile belirtilen ise çözülecek
% denklemlerdir ve bir m file içerisine yazılmalıdır. x0 tahmini başlangıç
% değerleridir. x0 boyutu x değişken sayısı kadar olmalıdır.
 
clear all, close all,clc
 
% Örnek: e^(-e)^(-x-y) = y(x^2+1) ve xcos(y) + ysin(x) = 1/2 denklemlerini
% çözünüz.
% Çözüm: Denklemler nonlineerdir. fsolve komutu kullanılacaktır. Öncelikle
% F(x)=0 formuna getirilmelidir.
% e^(-e)^(-x-y) - y(x^2+1) = 0
% xcos(y) + ysin(x) - 1/2 = 0
% Bir m file içerisine denklemler aşağıdaki gibi yazılmalıdır. Bu m file,
% matlabda, şimdiki çalışma klasörünün içerisinde olmalıdır.
% function F = root2d(x) %function adı root2d olarak girildi
% F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+(x(1)^2); %x değişkeni x(1), y
% değişkeni x(2)
% F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5;
 
fun = @root2d;
x0 = [0,0]; % Başlangıç değerleri
x = fsolve(fun,x0) % ans = 0.3532    0.6061

8) Adi Diferansiyel Denklemler (ODE): Türler ve Sembolik Çözüm

ODE Türleri (Kısa Özet)

Başlangıç değer problemi (IVP): Şartlar yalnız başlangıçta verilir (Euler, Runge-Kutta).
Sınır değer problemi (BVP): Şartlar başlangıç ve bitişte verilir (Shooting, FDM, FEM).
Özdeğer problemi: Özel bir BVP türü, ör. $(A-\omega)x=0$ .

Sembolik çözüm: `dsolve`

Sembolik ODE çözerken syms y(t) ile fonksiyonun hangi değişkene bağlı olduğunu belirtmek iyi pratiktir.

%% Adi Diferansiyel Denklemlem Türleri
 
% Başlangıç değer problemi: Sınr şartları sadece başlangıç  noktasında
% verilir. Sayısal çözüm yöntemleri: Runge Kutta yöntemi, Euler yöntemi
 
% Sınır değer problemi: Sınır şartları hem başlangıç hem de bitiş
% noktasında verilir. Sayısal çözüm yöntemleri: Atma yöntemi, sonlu fark
% yöntemi, sonlu eleman yöntemi
 
% Özdeğer problemi: Sınır değer problemlerinin özel bir türüdür. (A-w)*x=0
% türündeki problemler. Sayısal çözüm yöntemleri: Sonlu fark yöntemi, sonlu
% eleman yöntemi
 
% Diferansiyel denklemlerde bulunan diferansiyel operatörlü ifadeler
% dy/dx=dfiff(y) biçiminde yazılmalıdır.
% Öncesinde de y'nin x'e olan bağlılığı syms y(x) ile belirtilmelidir.
 
% Örnek1: (3*x^5*y^5-2y)dx+(5*x^6*y^4+x)dy=0 olarak verilen diferansiyel
% denklemini çözünüz.
% dx ve dy'ler farklı yerlerde bunları dy/dx olacak şekilde toplayalım ve
% buna diff(y) diyelim.
syms y(x)
eqn = (3*x^5*y^5-2*y) + diff(y)*(5*x^6*y^4+x) == 0;
S = vpa(dsolve(eqn))
 
% Örnek2: dy/dt = ay denklemini çözünüz.
syms y(t) a
eqn = diff(y,t) == a*y
S = vpa(dsolve(eqn))
 
%% Örnek3: d^2y/dt^2 = a*y denklemini çözünüz.
clear all, close all, clc
syms y(t) a
eqn = diff(y,t,2) == a*y;
S = vpa(dsolve(eqn));
 
% Örnek4: dy/dt = ay denkleminde y(0) = 5 olduğu bilinmektedir.
% Diferansiyel denklemi bu başlangıç şartı ile çözünüz.
syms y(t) a
eqn = diff(y,t) == a*y;
cond = y(0)==5;
S = dsolve(eqn,cond);
 
% Örnek5: d^2y/dt^2 = a^2y denkleminde y(0)=b ve y'(0)=1 olduğu
% bilinmektedir. Diferansiyel denklemi bu başlangıç şartları ile çözünüz.
% Bilgi: Mertebesi kadar en az başlangıç bilgisi olması lazım çözmek için.
syms y(t) a b
eqn = diff(y,t,2) == a^2*y;
e=diff(y,t);
cond=[y(0)==b e(0)==1];
S = dsolve(eqn, cond);
 
%% Örnek6: dy(t)/dt = e^(-y(t))+y(t) olarak verilen diferansiyel denklemi,
% kapalı olarak (örtük, implicit) çözünüz.
% Diferansiyel denklemin örtük çözümlerini yapmak için, implicit seçeneği
% kullanılmaktadır. Örtük bir çözüm F(y(t))=g(t) biçimindedir.
clc
syms y(t)
eqn = diff(y) == y+exp(-y);
S = dsolve(eqn,'Implicit',true);
pretty(S)
 
%% Örnek 7: dy/dt = y+a/y^(1/2) olarak verilen diferansiyel denklemi, y(a)=1 şartı ile çözünüz.
clc
syms y(t) a
eqn = diff(y,t) == y + a/sqrt(y);
cond = [y(a) == 1]; % y(a) = 1 condition
S = dsolve(eqn, cond);
 
% diff(y,t) ifadesi y fonksiyonunun t değişkenine göre türevini al
% demektir. Eğer syös y(t) diyerek y'nin t'ye bağlı olduğunu belirttiysen,
% diff(y) yazdığında MATLAB varsayılan olarak zaten t'ye göre türev alır.
% Ancak denklemde birden fazla semboilk değişken varsa, diff(y,t) yazmak
% kodun okunabilirliğini artırır ve hata payını sıfıra indirir.
% Matlab'de diff fonksiyonu şu şekilde çalışır
    % * diff(y,t) -> dy/dt
    % * diff(y,a) -> dy/da
    % * diff(y) -> MATLAB, symvar komutuyla bulduğu "en olası" bağımsız
    % değişkene göre türev alır.
 
% a parametresinin tüm olası değerlerini içeren çözümleri elde etmek için,
% IgnoreAnalyticContraints adeğerini false olarak ayarlayarak
% basitleştirmeler kapatılabilir.
yNotSimlified = dsolve(eqn, cond,'IgnoreAnalyticConstraints',false);

9) ODE Sayısal Çözüm: `ode23` ile Runge–Kutta

ode23 ve ode45 iki farklı Runge–Kutta çözümleyicidir:

ode23: 2. ve 3. dereceden
ode45: 4. ve 5. dereceden

Aşağıdaki örnekte ode23 ile $t=0$ 'dan $t=5$ 'e çözüm alınıp çizdiriliyor:

%% Adi diferansiyel denklemlerin sayısal çözümü
% ode23 ve ode45 adında iki adet Ruge-Kutta yöntemi mevcuttur. ode23 ile
% ikinci ve üçüncü dereceden runge-kutta integrasyon denklemleri
% çözülürken ode45 ile dördüncü ve beşinci dereceden runge-kutta
% integrasyon denklemlerini kullanılmaktadır. Ode fonksiyonlarının genel
% kullanım şekli; [y t]=ode23('denklemler',çözüm aralığı,sınır şartları);
 
% Örnek1: Aşağıdaki doğrusal olmayan, birince mertebe ODE türünde bir
% başlangıç değer (t=0'da y=1) problemini, t=0'dan 5'e kadar çözünüz.
% diff(y)=(-t*y)/(sqrt(2-y^2))
clc
[t,y]=ode23('predprey',[0,5],[1]);
plot(t,y)
 
function F = root2d(x) %function adı root2d olarak girildi
    F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+(x(1)^2)); %x değişkeni x(1), y
    % değişkeni x(2)
    F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5;
end
 
function f = predprey(t,y)
f =(-t*y)/(sqrt(2-y^2)); % Türev sola hizalandı
end